Бесконечность

          неопределённость бесконечности
          изучение бесконечности
          определение/ оформление бесконечности
          "исчезновение бесконечности"
          парадоксы бесконечного
          бесконечность как источник познания
          бесконечность и движение
          бесконечное в математике и божественное в теологии
          математика; физика; теология
          бесконечное и реальность

          Неопределённость бесконечности
          Бесконечность не является определённым понятием. Как только бесконечности даётся определение, она превращается в некоторую "конечность". В тех теориях, исчислениях, которые используют слово бесконечность, оно является лишь обозначением для сокращённого описания некоторых конечных- определённых понятий или процедур. Бесконечность связана с такими также неопределёнными понятиями как бесформенность, беспредельность.
          Неопределённость, притом принципиальная, бесконечности отмечалась. Например, в 1774 году президент Берлинской Академии наук Лагранж решил объявить конкурс "о строгой и ясной теории того, что в математике называется бесконечностью". Лагранж предлагал, чтобы вместо бесконечности было введено некоторое другое понятие, "отчётливое и достоверное".

          Изучение бесконечности
          Бесконечность, несмотря на её неопределённость, можно изучать. В математике результатом изучения бесконечности стало создание методов "исчерпывания" (площадей), интегрирования, дифференцирования, …
          Построение математических теорий, "использующих бесконечность", строгих или нестрогих, можно назвать исчислением бесконечности.
          Основной вопрос для какой-либо теории, где участвует слово бесконечность (как, впрочем, и для любой другой): "эффективна ли она?" Так, "использующий бесконечность" математический анализ эффективен (помогает находить экстремумы функций, …). Пример неэффективной теории бесконечности: трансфинитная арифметика Кантора.
          Эффективность для практики теорий, методов, возникших при изучении бесконечности, может рассматриваться как критерий истинности представлений исследователя о бесконечности. И обратно: бесполезность теорий, "использующих бесконечность", говорит о неправильности таких представлений.

          Определение/ оформление бесконечности
          Математические теории возникают вначале, как правило, в нестрогом виде, где смысл понятий определён неточно, действия/ системы продукций даны приблизительно. Постепенно, в том числе в процессе устранения ошибок и противоречий, теории становятся всё более строгими, их понятия и методы действий – всё более оформленными, определёнными. Это в особенности относится к теориям, обращающимся к бесконечности, поскольку любые действия всегда производятся над конечным числом объектов (формул, фигур, чисел...) и состоят из конечного числа процедур (преобразований этих формул...). В предварительных рассуждениях, расчётах могут производиться плохо определённые "бесконечные вычисления", "бесконечные выводы", ... Однако такие расчёты или выводы являются лишь возможной основой для создания некоторых теорий, уже строго определённых и непротиворечивых (пример: исчисление бесконечно малых). Они могут так и остаться на уровне набросков, правдоподобных вычислений или умозаключений (пример: апории Зенона). В этом случае их применение в теории и на практике, как и вера в истинность их заключений, будут постепенно убывать.
          В процессе определения, оформления, уточнения предварительного наброска теории, обращающейся к бесконечности, эта неопределённая бесконечность превращается в определённые понятия и процедуры. Переход от расплывчатых, нестрогих рассуждений о бесконечности, "бесконечных" вычислений и пр. к определённой, явно представленной как конечной, теории представляет собой как бы конечное воплощение бесконечного.

          "Исчезновение бесконечности"
          Бесконечное, будучи частично исчисленным – можно сказать, породив это исчисление – уходит из него. В строгих математических теориях слово или символ "бесконечность" является обозначением определённых конечных процедур. Смысл любого понятия, разумеется, может меняться при изменении теории, в которой оно используется. Но с бесконечностью происходит нечто более существенное: в процессе определения, уточнения использующей её (нестрогой) теории она в какой-то момент исчезает, превращаясь в конечное; как бы уходит в некоторую неопределённую (бесконечную, бесформенную) область, из которой некогда, при возникновении данной теории она появилась, и откуда снова может быть вызвана, при построении следующей теории. Бесконечность уходит – остается только порождённый ею (конечный) математический аппарат. Впрочем, уловить момент "ухода бесконечного", трансформации неопределённого бесконечного/ неявного конечного в определённую и явленную конечность примерно то же, что уловить момент остановки движения, перехода его в состояние покоя.

          Парадоксы бесконечного
          Новые теории, исчисления, возникшие при "работе с бесконечностью", особенно, когда они выражены в эскизной, нестрогой форме, могут приводить к противоречиям, парадоксам – правдоподобным, но ошибочным/ самопротиворечивым заключениям, к неверным результатам. Из-за этого новые теории нередко подвергаются серьёзной критике, особенно на этапе их становления. Так было, например, с анализом бесконечно малых – критики, слабо знакомые с сутью дела, называли его "ненаучным", "нелогичным" и пр. "Метод анализа не согласуется с законами логики… как бы он ни был полезен, его можно рассматривать лишь как некоторую догадку, ловкую сноровку, искусство или скорее ухищрение, но не как метод научного доказательства" (епископ Беркли). Впрочем, в начале становления математического анализа недоуменные вопросы возникали даже у самих его создателей: "каким образом из столь противоречивых посылок получаются столь многочисленные истинные положения?" Главным критерием истинности любой теории, однако, является практика. Определить заранее все возможные эффективные научные методы нельзя – это всё равно, что полностью исчерпать бесконечность. Оформить же до нужной строгости, чтобы избежать противоречий, понятия и методы эскиза эффективной, приносящей пользу теории – задача чисто техническая; как это и произошло с тем же исчислением бесконечно малых.
          Бесконечное, в силу своей неопределённости, может содержать в себе взаимно противоречивые характеристики; в частности, оно само как бы и "есть" и "нет". При дооформлении до нужной строгости эскиза теории, использующей бесконечность, противоречия исчезают; однако и сама "бесконечность" при этом превращается в нечто конечное.
          Поскольку бесконечное может содержать в себе взаимно противоречивые характеристики, к нему нельзя применить метод заключения от противного, reductio ad absurdum (RaA). Это утверждение можно интерпретировать как "ограниченность применимости критерия непротиворечивости к бесконечному".
          С помощью бесконечности строятся эффективные математические теории. Т.е. бесконечность "полезна", т.о. "существует", "есть". С другой стороны, при строгом определении смысла слова бесконечность в какой-либо теории, оно всегда является лишь обозначением чего-то конечного. Т.е. бесконечности как бы не существует. Существует как некоторый порождающий источник, и не существует как определённый объект, предмет математических, логических процедур.

          Бесконечность как источник познания
          Бесконечность воздействует на исследователя, в результате чего возникают теории, системы понятий и продукций (методы обработки этих понятий). Работая с бесконечностью, создаются многие эффективные математические теории и методы. Про эти теории и методы можно сказать что они "порождаются бесконечностью", "извлекаются из бесконечности".
          Утверждение, что бесконечность порождает (математические) теории можно переформулировать так: бесконечность является источником познания. Источник познания, порождающий понятия, теории, отличается от них самих. В частности, понятия устойчивы, определены, оформлены.
          Бесконечность является весьма мощным, может быть даже основным источником познания. Теории и методы, использующие бесконечность – дифференцирование, интегрирование, преобразования Фурье и так далее – наиболее важны в современной математике. Некоторые их прообразы – "исчерпывание",... – появились ещё в античной науке, и уже тогда доставили ей значительный успех, в том числе в решении практических задач. Математику иногда даже называли наукой о бесконечности, имея в виду определяющую роль в ней этих методов.
          К бесконечности обращаются при поиске принципов науки, устройства Природы, жизни, … "При каждом серьёзном размышлении из глубины нашего сознания всплывает эта бесконечность ..." (В.Н. Тростников).

          Бесконечность и движение
          Бесконечное похоже на движение. Оно так же ускользает от попыток его определения- оформления- ограничения... как и движение, а будучи частично определённым покидает эту созданную "оконеченную" часть и уходит в некоторую другую, остающуюся по- прежнему неопределённой и бесформенной. Как и бесконечное, движение никак не удается до конца уловить, остановить, завершить. "Оконеченная бесконечность" – это как бы остановленное движение. Как и бесконечность, движение то ли есть, то ли его нет. "Движенья нет, сказал мудрец брадатый. Другой смолчал и стал пред ним ходить ...".
          Бесконечное и движение участвуют в похожих парадоксах – правдоподобных, но ошибочных или самопротиворечивых утверждениях. Причём они нередко и связаны там друг с другом. Так, например, апория Зенона, рассматривающая вопрос движения: "Догонит ли Ахиллес черепаху?" использует бесконечное деление отрезка.
          И бесконечное, и движение скорее источники изменений, чем понятия; они порождают новые понятия, системы, но сами ими не являются; используются как понятия лишь условно.
          Похожи не только бесконечное и движение, но и их оппозиции: конечное – покой; таким образом, похожи диады {бесконечное, конечное} и {движение, покой}. Покой соотносится с определённостью, оформленностью, конечностью.
          Исчисление бесконечного в математике можно соотнести с познанием движения в физике. Математика является, в главном, наукой о бесконечности: исчисление бесконечного дало ей наиболее мощные методы. Аналогично, физика является, в главном, наукой о движении, а познание движения, в особенности, его исчисление, дало физике наиболее важные результаты, составило основу научной революции XVII века; причём оба эти процесса – исчисление бесконечности и исчисление движения – интенсифицировались в одно и то же время (конец Возрождения - Просвещение) и реализовывались одними и теми же исследователями (Галилей, Гюйгенс, Ньютон, ...). Более того, именно методы "исчисления бесконечно малых" стали наиболее эффективными средствами в математическом изучении движения.
          Движение мы заключаем в формы- исчисляем, и бесконечность тоже заключаем в конечные формы- исчисляем.
          Бесконечное исчисляется лишь частично: то и дело возникают новые математические методы, "использующие бесконечность". Аналогично после (частичного) познания движения, выявляются новые его виды, строятся их теории и так далее.
          Бесконечное, как и движение, всё время словно вырывается из исчисленных- оформленных интеллектуальных конструкций, в которые его пытаются заключить.
          Связь бесконечности с движением/ материей отмечалась. Аристотель утверждал, что бесконечное существует (лишь) потенциально; "отсюда с очевидностью следует, что бесконечное для Аристотеля есть материя, ибо именно материя с самого начала определяется им как возможность" (П. Гайденко). (Кстати, источник познания также можно охарактеризовать как возможность). "Бесконечное есть материя для завершённости величины и целое в потенции, а не актуально" (Аристотель, Физика, III, 6, 207а).

          Бесконечное в математике и божественное в теологии
          Если представление математики как "науки о бесконечном" является, во многом, лишь метафорой, то теология является бого-словием – словами о божественном – по определению.
          Между исчислением бесконечного и изучением божественного заметны существенные аналогии. Прежде всего, бесконечное – часто используемая характеристика божественного. Математические представления о бесконечном применялись для интерпретации богословских положений. Например, в теологии использовались математические модели типа "Бог это бесконечная сфера, периферия которой везде, а центр нигде". В.Н. Тростников рассматривал пример из теории пределов lim x*(1/x) (=∞*0) =1 как математическую иллюстрацию положения "действием бесконечного из ничего получается число (Вселенная)". Св. Игнатий (Брянчанинов): "К математической теории бесконечного мы обращаемся чтобы, по возможности более точно, объяснить отношения Творца и творения, в собственном смысле недоказуемые и необъяснимые".
          Хотя в математике есть и "конечные" разделы, но бесконечность даёт ей наиболее мощные методы. Аналогично, хотя божественное может быть охарактеризовано и как "конечное", поскольку оно стоит выше оппозиции конечное – бесконечное/ включает её, однако бесконечное является его "более существенной" характеристикой. Как в математике бесконечное и "есть" и "нет", так и в теологии имеются и катафатические (положительные) и апофатические (отрицательные) характеристики божественного. Возможно, что философско-математические дискуссии о существовании потенциально бесконечного и несуществовании актуально бесконечного в математике соответствуют теологическим дискуссиям о возможности познания энергий божественного и невозможности познания его сути. В современной математике предлагается осторожно обращаться с бесконечным, в том числе подчеркивается ограниченность применимости к нему метода "приведения к абсурду" (RaA), критерия непротиворечивости. Аналогично, в современном богословии рассуждения о божественном, ссылающиеся на "правдоподобие" или на "приведение к абсурду", считаются предварительными и недостоверными. Впрочем, еще в –VI веке Гераклит рекомендовал "о величайшем не говорить правдоподобного".

          Математика; физика; теология
          Существует связь между математическим исследованием бесконечного, изучением движения в физике, и теологией божественного. Возможно, эту связь можно представлять в виде проекции: теология божественного → исчисление бесконечного в математике → изучение движения в физике.

          Бесконечное и реальность
          Реальность бесконечна (потенциально) и этим отлична от конечных виртуальных миров.
          Главным критерием истинности/ полезности/ красоты тех или иных теорий является связь с реальностью, дающая им (потенциально бесконечную) возможность дальнейшего развития. Истины должны быть связаны с реальностью и бесконечным.