Числа и фигуры в древних культурах

          Числа и фигуры в Шумере-Вавилоне, Индии, Китае;
          Ведийские алтари и геометрия древней Индии;
          Древнекитайский "Трактат о гномоне";
          >Математическая загадка "Книги Перемен";
          Шестидесятеричный счёт;
          Магические квадраты;

          Числа и фигуры в Шумере-Вавилоне, Индии, Китае

          Введение
          Математика
          Шумер-Вавилон; Индия; Китай
          сравнение: сходство и различие
          Математические образцы
          Шумер-Вавилон; Индия; Китай
          сравнение: сходство и различие

          Введение
          Математические объекты использовались человеком на самом раннем этапе его деятельности. Они применялись во многих областях практики: при обмене/ торговле; в строительстве, архитектуре; при размежевании полей, отделке инструментов; при упорядочивании физического и интеллектуального мира.  Ими нередко изображались вещи и явления Природы.
          Изначально математические объекты делились на два больших класса: числа, представлявшие результаты счёта или измерения вещей, и фигуры, возникавшие при познании пространственных свойств физического мира. Соответственно, математические задачи – задачи обработки математических объектов и изучения их свойств – делились на два больших класса: арифметику и геометрию ( Слово гео-метрия этимологически означает "измерение земли". Впрочем, исходные классы "геометрических" задач в древних культурах были связаны не только с измерением земли, но и с архитектурой, в особенности религиозной – постройкой храмов и алтарей.
          Уже на самом раннем этапе развития культур Ближнего Востока, Средиземноморья, Индии, Китая и некоторых других, в них имелись использовавшиеся в повседневной практике арифметические и геометрические знания: методы вычислений; формулы площадей и объёмов; способы построения фигур с заданными свойствами.
          Имелись в тех же культурах и математические знания несколько иного типа: более сложные и не связанные прямо с материальными потребностями тогдашнего общества. Так, в математике древнего Вавилона, Индии, Китая встречалось утверждение, известное как теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Для ранней математики эта теорема не была элементарной – даже наиболее простые её доказательства требовали определённого уровня владения техникой разрезания и перестановки частей фигур. Её открытие трудно было связать и с какими-то тогдашними практическими нуждами – например, измерением полей. Аналогично, задача нахождения пифагорейских троек, рассматривавшаяся в ряде древних культур, также не являлась ни элементарной, ни "естественной".
          Всё это говорит о том, что развитие математики уже на самом раннем этапе истории человечества происходило не только с целью решения прямых практических проблем.
          Многие математические знания древнего Вавилона, Индии, Китая были сходными между собой. Например, во всех этих культурах появились таблицы умножения, похожие формулы вычисления площадей и объёмов простейших фигур и тел; стандартные пифагорейские тройки; теорема Пифагора.
          Сходство формул или методов решения приложимых к практике вычислительных и геометрических задач древней математики в отдалённых друг от друга регионах можно было бы считать естественным, обусловленным сходством человеческих целей и потребностей. Однако наличие такого сходства для неэлементарных и притом чисто теоретических задач побуждает высказать гипотезу об обмене математическими знаниями между древними культурами, либо распространении их из единого источника.
          Числа и фигуры в древности использовались не только при решении практических задач, но и как образцы для упорядочивания физического и интеллектуального мира. В Вавилоне, античной Греции, Индии, Китае, других культурах математические объекты сопоставлялись богам, духам, явлениями природы, философским понятиям; "внедрялись" в архитектуру светских зданий, религиозных храмов, письменных текстов. Имелся набор часто употреблявшихся как образцы чисел и их отношений: 7, 15, 50, 60, 3:2, …; а также фигур: пентаграмма, восьмиконечная звезда, пифагорейские треугольники, …
          Числа/ их отношения и фигуры, сопоставляемые сходным объектам физического или понятиям интеллектуального мира, часто оказывались в разных древних культурах равными или подобными между собой. Так, сопоставление в Шумере Ану (Небо) → 60, Ки (Земля) → 40 имело явную аналогию с сопоставлением в Китае Небо → 3, Земля → 2; 60:40 = 3:2. Стандартные сопоставления в пифагореизме мужскому (светлому, небесному, ...) и женскому (тёмному, земному, ...) началам чисел 3 и 2 и фигур круг и квадрат совпадали с соответствующими сопоставлениями в древнем Китае.
          Большинство таких сходств и аналогий можно было бы считать, как и для математических задач, обусловленными общностью познания и практики. Но в ряде случаев они выходят за рамки "естественных" совпадений, что снова побуждает ставить вопрос о трансляции идей между разными древними культурами или их распространении из единого общего источника. (Подробнее об общем источнике см. Симаков М.Ю. "Индоевропейская основа древних цивилизаций", М. 2015 г.).

          Математика.

          Шумер-Вавилон
          Источники. Записи, найденные при шумерских храмах, включали арифметические и геометрические задачи. От вавилонского периода до нас дошли две большие группы клинописных математических текстов: старовавилонские (около –1700 г.) и селевкидские (около –300 г.). Математических текстов, относящихся ко времени между –1700 и –300 гг. найдено не было. Обе группы очень похожи, "отличия между ними незначительны, единственное важное нововведение – знак 0"
          Системы счисления. В шумерской культуре применялось несколько систем счисления: позиционная 60-чная, 10-чная и 5-ричная. Наиболее древней была пятеричная. Шестидесятиричная применялась только в математике и астрономии. Она существовала уже во времена III династии Ура (около –2100 г.) и продолжала применяться на протяжении всего периода существования вавилонской культуры. Десятичная система использовалась для хозяйственных записей и задач.
          Основные задачи. В текстах, найденных при шумерских храмах, имелись таблицы умножения, обратных величин, квадратных корней; упоминались измерительные инструменты: линейка и веревка. В математических текстах вавилонского периода рассматривалось несколько больших групп похожих задач, в том числе учебно-тренировочного характера. Много задач было на решение квадратных уравнений, "сотни примеров на задачу X*Y=A, X±Y=B" (Ван дер Варден Б. "Пробуждающаяся наука"); теорему Пифагора; линейные системы уравнений. Приводились примеры пифагорейских троек чисел. Вычислялись площади, объёмы некоторых фигур.
          Теорема Пифагора; пифагорейские тройки в Вавилоне. "Теорема Пифагора" была известна ещё в старовавилонский период, то есть за 1000 лет до Пифагора (–VI в.). Она имела вид правила нахождения гипотенузы по данным катетам.
          Пифагорейские тройки также были известны в древнем Вавилоне: 15 таких троек были приведены в клинописной таблице Plimpton 322. Порядок их расположения говорил о том, что составители знали общую формулу нахождения троек: в тексте они были расставлены в соответствии с убыванием значения m/n, где m, n – образующие троек; от m/n = 12/5 до m/n = 9/5. Значения m/n брались из этого промежутка так, чтобы m, n были произведениями степеней 2, 3, 5.
          Методы решения задач. В вавилонских текстах не приводились методы, с помощью которых были найдены решения задач; давались только начальные условия и действия для нахождения ответа. Ранние попытки реконструкции методов вавилонской математики привели к заключению, что они имели алгебраический характер: шумерские слова внутри аккадского текста использовались аналогично современным математическим символам, далее условия задачи преобразовывались (устно или письменно), аналогично современной алгебраической технике. Вместе с тем, уже давно было отмечено, что подобная реконструкция не объясняла некоторых особенностей терминологии вавилонской математики; кроме того, отдельные задачи допускали существенно более простые – геометрические – способы решений. Были высказаны предположения о важной роли геометрических методов решения задач в вавилонской математике: "вероятно, геометрический элемент в вавилонской мысли был более сильным, чем это представлялось ... вавилоняне трактовали произведения как площади, об этом говорит их терминология" (Ван дер Варден Б. "Пробуждающаяся наука",)>. И. Хойруп, уточнив переводы текстов, пришел к выводу, что "вавилонские методы были основаны скорее на геометрической эвристике" (Hoyrup J. "Algebra and Naive Geometry" // "Altorientalisch Forshungen", 17, 1990). "Текст решения задач <в современной записи имеющих вид X*Y=A, X±Y=B> хорошо интерпретируется лишь при геометрическом истолковании действий" (там же).
          Преобразование площадей. Одной из основных геометрических процедур, применявшихся при решении математических задач в Вавилоне, Хойруп считал разрезание и перестановку частей фигуры (= геометрия равносоставленности; геометрическая алгебра); главным образом превращение прямоугольника в гномон и далее (добавлением квадрата) в полный квадрат. В частности, такие методы, по его мнению, применялись при решении квадратных уравнений и систем.
          Применение геометрических методов (преобразования площадей) в вавилонской математике подтверждается также весьма ранним появлением в ней "теоремы Пифагора", начальные доказательства или иллюстрации которой использовали, скорее всего, разбиение фигур и перестановку их частей. Более того, в ряде древних культур (Греция, Индия, Китай) встречался простой геометрический, или, скорее, архитектурный чертеж, из которого можно было получить как метод решения системы уравнений X*Y = A, X±Y = B, так и доказательство теоремы Пифагора, что хорошо согласуется с синхронностью постановки и решения этих двух проблем в разных культурах.
         

          Некоторые другие задачи вавилонской математики также допускали простые геометрические решения, в то время как какие-либо аналоги алгебраических методов для них были более сложными. Например, задача нахождения длины отрезка, делящего площадь трапеции пополам и параллельного ее основаниям: её простое геометрическое решение использует достраивание трапеции до разности двух квадратов.
          Таким образом, весьма вероятно, что в вавилонской математике важную роль играла геометрия равносоставленности, преобразование плоских фигур путём разрезания и перестановки частей, изоморфная геометрической алгебре пифагорейцев и Эвклида. Более поздние греко- и арабоязычные математики активно применяли геометрическую алгебру при решении тех же или аналогичных задач. При этом "прослеживается преемственность этих методов не только до пифагорейцев (часто использовавших их) но даже до аль  Хорезми, вплоть до применения им тех же грамматических форм" (там же)
          Происхождение вавилонской математики. По мнению большинства историков науки "шумерская математика – источник вавилонской" (ван дер Варден и др.). Аргументы:
          · Вавилонская математика использовала шумерский 60-счет, в т.ч. в таблицах умножения и обратных величин.
          · Шумерские символы использовались как идеограммы и технические термины ("сложить", "вычесть", ...) внутри вавилонских математических текстов.
          Вместе с тем, основные классы задач в старовавилонской математике не имели аналогов в математике шумеров. Далее, "курс математики, и только он, велся в э-дубе <жреческой школе Вавилона> на аккадском языке" ( Дьяконов И.М. "Люди города Ура", М., 1990 г.). Это может говорить о привнесённости извне основных классов задач вавилонской математики – скорее всего, её трансляции с "солнечного" Севера.
          Задачи на квадратные уравнения и теорему Пифагора, видимо, были связаны в Вавилоне с религиозной архитектурой: они применялись при построении квадрата, равновеликого данному прямоугольнику (и обратно), что требовалось скорее не для измерения полей, а для построения храмов/ алтарей с сохранением канонической площади (как было, например, в древней Индии; см. далее). Кстати, приведённый выше чертёж, иллюстрировавший теорему Пифагора и решение квадратных уравнений, напоминает укладку кирпичей.

          Индия
          Источники. Источниками знаний о древнеиндийской геометрии являются т.н. Шульба-сутры, "правила верёвки", описывающие способы построения (с помощью верёвки) алтарей для жертвоприношений. Составление этих сутр историки относят к –V - –IV вв.
          Основные классы задач. В Шульба-сутрах определялись простейшие геометрические объекты, их свойства, способы их построения с помощью верёвки. Рассматривались два больших класса задач: 1) Преобразование фигур с сохранением площади (построение фигуры данной площади, но другой формы); 2) Преобразование фигур с сохранением формы, но другой площади.
          Среди задач на преобразование фигур с сохранением площади была "квадратура круга" – построение круглого алтаря данной площади, то есть, равновеликого данному квадратному алтарю.
          В Шульба-сутрах приводилась "теорема Пифагора"; она формулировалась не для треугольника, а для диагонали прямоугольника. Доказательство теоремы в сутрах не давалось; самое раннее из известных индийских доказательств этой теоремы относится к +V - +VI вв. Теорема Пифагора применялась при преобразовании фигур, в т.ч. в задаче превращения прямоугольника в квадрат той же площади.
          В Шульба-сутрах встречались пифагорейские треугольники: (3, 4, 5), (5, 12, 13) (в т.ч. в размерах алтаря Маха-Веди, неявным образом; см. ниже), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (12, 35, 37).
          Формы и размеры основных алтарей. Три основных алтаря, на которых должны были совершаться обязательные жертвоприношения, указанные в Ведах, строились из кирпичей; имели форму круга, квадрата, полукруга и одинаковую (каноническую) площадь в 7.5 кв. purusa. Алтарь Маха-веди для жертвоприношений Сомы имел форму равнобедренной трапеции со следующими основаниями и высотой: a = 30, b = 24, h=36 padas. Алтари для жертвоприношений Kamya-agni имели форму сокола, колеса, черепахи, ромба, … и каноническую площадь.
          Происхождение древнеиндийских математических знаний. Три основных ведийских алтаря, Три огня, построение которых описывалось в Шульба-сутрах, упоминались ещё в Риг Веде. Правила их построения там не давались, но говорилось, что для этого есть специалисты. Размеры и формы некоторых алтарей приводились в Шатапатха Брахмане (усл. –2000 - –600 гг.), Тайттирия Самхите. Там же упоминались и геометрические фигуры, связанные с построением алтарей, в частности, пифагорейские треугольники. "Прослеживая историю треугольника (15, 36, 39) <= 3*(5, 12, 13)> мы впервые встречаем его в Майтрайане Самхите, Шатапатха Брахмане. Упоминались только 15 и 36 но не 39" (Datta B. "The science of the Sulba", Calcutta, 1932.).
          Постановка задач построения алтарей данного размера и формы оказала определяющее влияние на развитие ранней индийской геометрии. Геометрия Шульба сутр представляла собой "архитектуру алтарей": многие её понятия и задачи были введены для правильного построения ведийских алтарей.
          Вместе с тем, сама постановка таких задач уже предполагала знание некоторых геометрических фигур и их свойств. Например, размеры алтаря Maha-vedi, как нетрудно видеть, были специально подобраны так, чтобы в нем "содержались" первые два пифагорейских треугольника – (3, 4 ,5) и (5, 12, 13). А именно: ΔAIG (см. рис.) имел размеры (15, 20, 25) = 5*(3, 4, 5); ΔARG имел размеры (15, 36, 39) = 3*(5, 12, 13).
         

          Таким образом, уже на самом раннем этапе существования индийской культуры, не позже появления Шатапатха Брахманы, где были даны размеры алтарей, в ней имелись знания (неизвестного происхождения) о некоторых математических объектах, предположения об их связи с богами и предложения строить алтари соответствующей формы. "Каноничность" определённых геометрических фигур, их связь с религией может говорить (особенно учитывая неясность их происхождения) об их привнесённости извне, трансляции из другой, более древней культуры. Ссылки на некоторую авторитетную древнюю традицию встречались у авторов Шульба-сутр.

          Китай
          Счёт; счётные инструменты. На гадательных костях эпохи Шан-Инь (–XVII - XI вв.) имелись изображения цифр от 1 до 9 и названия разрядов чисел от 1 до 10000. В древнем Китае была распространена, или даже преобладала 5-чная система счисления. Счёт дней велся, в эпоху Шан-Инь, по 60 (= 5*12) системе. Начиная с правления Ван Мана (+I в.) та же система стала применяться для счёта лет.
          Для решения арифметических задач в китайской математике применялись счётные палочки ("не позднее эпохи Чжанго <–V - –III вв.>") и счётная доска. Свидетельством раннего применения счётной доски в Китае является изложение методов решения задач "в виде алгоритма для счётной доски" (Березкина Э.И. "Древнекитайская математика", М., 1980 г.). Кроме того, представление в Китае таблицы умножения в виде 9*9 предполагало применение при вычислениях счётов.
          Раннее использование в Китае счётных инструментов имело следствием развитие техники вычислений и совершенствование системы счёта. (Аналогичным был результат применения абака/ счётов в Европе, что отмечалось историками науки Н. Бубновым и Э. Березкиной). В частности, использование пустого места на счётной доске являлось (неявным) введением в арифметику нуля; расчёты на абаке были эквивалентны использованию позиционной системы (по Н.М. Бубнову).
          Теорема Пифагора. В самом раннем китайском математическом тексте "Трактат о гномоне" (Чжоу би), относимом к –I тыс., приводилась первая пифагорейская тройка (3,4,5) и теорема Пифагора в применении к ней (согласно реконструкциям неясных формулировок трактата). В трактате их введение приписывалось Чжоу гуну, брату первого чжоуского императора (–XI в.) или полумифическому культурному герою Юйю, основателю полулегендарной династии Ся: "С помощью этих методов Юй управлял Поднебесной".
          Другие задачи. В том же трактате упоминались, хотя и также в неясных выражениях, задачи на подобие фигур – нахождение, с помощью угольника, высот и глубин удалённых объектов. Их решение приписывалось, опять-таки, Юйю.
          В китайском математическом трактате "Девять книг" (усл. –II - –I вв.) излагались методы действий с дробями, с отрицательными числами, решения систем линейных уравнений. "Девять книг" приводили задачи на теорему Пифагора и на пифагорейские тройки; при этом из данных в тексте методов решений следовало, что составителям была известна общая формула для троек (отмечено ван дер Варденом).

          Сравнение
           
          Сходство
          Теорема Пифагора. Теорема появилась на самом раннем этапе развития культур Вавилона, Индии, Китая. Аналогично пифагорейские тройки, которые, кроме того, были обнаружены и в пропорциях мегалитических построек (хеджей) Англии (усл. –III тыс.).
          Преобразования с сохранением площади. Задачи на преобразование прямоугольника в квадрат той же площади (и обратно) имелись и в клинописных табличках древнего Вавилона, и в Шульба-сутрах Индии. Они были эквивалентны системам X*Y=A, X±Y=B, или (что то же) квадратным уравнениям. Квадратура круга и обратная к ней задача рассматривались в древней Греции и Индии.
          Архитектурный чертёж. Этот рисунок встречался, явно или неявно, во всех ранних культурах – Вавилона, античной Греции, Индии, Китая. В древнем Вавилоне, по мнению И. Хойрупа (см. выше), с его помощью решались системы уравнений X*Y=A, X±Y=B. Его идея использовалась Эвклидом (–IV в.), для решения квадратных уравнений. С его помощью доказывалась теорема Пифагора в комментариях к китайскому математическому трактату "Чжоу би" (усл. дата комментариев +III - +IV вв.) и в индийской математике (усл. +VI в.).
          Видимо, этот чертёж был не только иллюстрацией/ "доказательством" теоремы Пифагора в ранних культурах, но и на нём она, скорее всего, была замечена.
          Различие
          Алтарь Маха-веди. Эта своеобразная геометрическая фигура имелась только в древней Индии. В Вавилоне и античной Греции, где тоже были популярны математико-теологические конструкции, её аналогов нет.
          Запад и Китай. В древнекитайской математике не было такого обилия задач на преобразование площадей как в Вавилоне-Греции и Индии. По сравнению с современной ей эллинистической, китайская математика "Девяти книг" была менее развита в геометрическом отношении, но несколько более развита в вычислительной части

          Математические образцы.
          (исчисление мира; внедрение математических образцов)
           
          Исчисление вещей, явлений, понятий это сопоставление им математических объектов. Оно производится, прежде всего, для эффективной, достигающей поставленных заранее целей, практики. Типичными примерами являются счёт времени или измерение полей. Возможность некоторого эффективного сопоставления вещам и явлениям Природы чисел или фигур обусловлена тем, что математические объекты "внедрены" в Природу – эти два положения эквивалентны. Исчисление вещей, явлений и понятий производится также для упорядочивания картины мира. Примеры: сопоставление в древних культурах богам, силам природы, философским понятиям тех или иных чисел и фигур.
          Х →М
          Исчисление вещей, явлений или понятий представляет собой их математическое познание. Оно превращает интеллектуальный мир в математический – упорядоченный-оформленный – Космос.
          Внедрение математических образцов в некоторые физические объекты или интеллектуальные понятия/ их наборы представляет собой их преобразование в соответствии с числовой и геометрической структурой этих образцов. Типичным примером является возведение здания из некоторого материала по заранее подготовленному (математическому) плану. Другим важным примером является классификация вещей или понятий по некоторому числу N – объединение их в группы из N элементов. Ещё один пример – использование математических объектов (кругов, квадратов, спиралей, …) в архитектуре, живописи, иных искусствах.
          М →Хм
          Внедрение математических образцов является обратной к исчислению- математическому познанию процедурой. Оно превращает физический или интеллектуальный мир в математический Космос.

          Шумер-Вавилон
          Исчисление в практике. В Шумере- Вавилоне, как и других древних цивилизациях, счёт и измерение издавна использовались в хозяйственной, торговой деятельности (сохранились соответствующие записи при шумерских храмах), земледелии, архитектуре, постройке храмов- зиккуратов, при счёте времени (календаре), предвычислении небесных явлений и других практических задачах.
          Исчисление музыки. Неоплатоник Ямвлих (+IV в.) приписывал вавилонянам знание музыкальной пропорции 12:9 = 8:6, содержавшей в себе основные музыкальные интервалы: кварту (4:3 = 12:9) квинту (3:2 = 12: 8) и октаву (2:1 = 12:6). Эти музыкальные интервалы изучались в пифагорейской школе (–VI в.). По Ямвлиху, Пифагор узнал музыкальную пропорцию в Вавилоне.
          Исчисление богов. В шумеро-вавилонской культуре некоторым богам/ явлениям природы были соотнесены числа и фигуры: Ану (Небо) → 60, Энлиль/ Мардук (Воздух) → 50, Ки (Земля) → 40, Нанна (Луна) → 30, Инанна (Венера) → 15. Инанна/ Иштар также часто связывалась в мифах с числом 7. Инанна и все боги (an) обозначались 8- конечной звездой. "В клинописных надписях Иштар обозначалась числом 15… Иштар с самого раннего времени представлялась 8- конечной звездой в Эламе. Это встречалось и в шумерских надписях" (Vogel C. "Pythagoras and early pythagoreanism", Assen, 1966)           В числовом представлении вавилонских богов особое значение имела пара (5, 10): Иштар → 15 (= 5+10), Мардук → 50 (= 5*10); при этом Иштар и Мардук – важнейшие божества вавилонского пантеона.
          Классификации. Объединение объектов или понятий в группы с одинаковым числом элементов N является "внедрением" в мир математического образца – именно, числа N.
          В шумерской культуре имелась диада главных богов/ явлений Природы – Ан и Ки, Небо и Земля; вселенная шумеров называлась Ан - Ки. Другой божественной диадой являлись Солнце и Луна.
          Имелись также триады, в т.ч.:
          · Космическая: Небо - Воздух - Земля (Ан - Энлиль - Ки). Согласно шумерским мифам Ан и Ки (Небо и Земля) породили Эн-лиля (Воздух), который разделил их, а также стал посредующим между ними.
          · Звёздная: Луна - Венера - Солнце (Нанна - Инанна - Шамаш).
          · Деление неба на три части: области Ану, Энлиля, Эа.
          · Три канонических цвета (предположительно) вертикали: чёрный, красный, белый. По ним раскрашивались трёхэтажные зиккураты.
          В халдейской культуре фундаментальную роль играло число 7, что было связано с почитанием в ней 7 богов-планет (Солнце, Луна, Венера, Меркурий, Марс, Юпитер, Сатурн). Многие явления природы, понятия, объекты мира были расклассифицированы в Вавилоне по семёркам (что, в частности, связывало их с богами и делало объектами астральной магии): 7 дней недели, 7 цветов, 7 нот и т.д.
          Эти классификации позже были значительно расширены в культурах, преемственно связанных с халдейской.
          Строение пространства. Земная плоскость была упорядочена по 4+1 направлениям: стороны света + центр. "Земля в шумерских и аккадских текстах – плоскость с четырьмя ориентирами – странами света, в центре находился город ... цари, начиная с аккадскаго периода, называли себя царями своей страны (или города) и четырёх сторон света" (Антонова Е. "Очерки культуры древних земледельцев Передней Азии", 1984 г.). Трехмерное пространство было упорядочено- оформлено аналогичным образом: 4 направления на плоскости + вершина (что соответствовало 4- угольной пирамиде).
          В Вавилоне "область пространства" обозначалась пентаграммой – видимо, как плоским изображением 4+1 пирамиды направлений. "Изображения пятиконечной звезды (впрочем, неправильной формы) имелись ещё в Шумере в период Урук IV (-3000 г.) ... затем в Урук III (-2800 - -2700 гг.)". "В клинописных текстах этот знак обычно обозначал слово "область" (Vogel, цит. соч.).
          Совместное пространственно- временное упорядочивание мира в Шумере- Вавилоне имело вид троичной вертикали и пятеричной горизонтали. Троичное деление было связано с небом/ вертикалью или временем, пятеричное – с землей, плоскостью или пространством.
          3*5 – модель мира соответствовала выделенному значению числа 15 в вавилонском "исчислении богов".
          Математические образцы в религиозной архитектуре. Храмы Шумера строились в соответствии с числами/ их отношениями, сопоставленными тем или иным богам – реализовывали "божественные" математические образцы. Три этажа шумерских зиккуратов соответствовали триадам главных богов. Размеры зиккурата Ура составляли 9*6 gar (шумерская единица длины), что соответствовало отношению Небо : Земля = 60:40 = 9:6, и одновременно, числу Инанны 15 (9+6 = 15).
          Постройки вавилонского периода также реализовывали "божественные" числа и отношения. Вавилонские зиккураты состояли из 7 этажей, соответствовавших 7 главным богам- планетам. Размеры зиккурата Этеменанки (Вавилонской башни) составляли 15*15*15 gar. Размеры дворца Навуходоносора 900:600 = 15* (60:40) соответствовали отношению Небо:Земля. Статуя божества, сооруженная Навуходоносором/ Набонидом, имела 60 локтей в высоту.
          Математизация мира. Как видно из этих примеров, в Шумере-Вавилоне активно производилось внедрение математических образцов в различные области теории и практики; превращение мира в математический Космос. Видимо, это было обусловлено связью шумеро- вавилонских божеств с числами и фигурами, "исчислением божеств". Внедрение связанных с божествами математических образцов в какую- то область практики или теории превращало эту область в объект соответствующей магии. Например, при классификации дней по семёркам каждый день связывался с некоторым планетным божеством.
          Математическое устройство самой Природы также было весьма рано замечено в культуре Ближнего Востока. В частности, царю Соломону (–X в.) приписывалось высказывание "Бог всё сотворил числом, весом, мерой", сделанное, видимо, под влиянием сирийцев- финикиян, с которыми он общался.
          Применение математических объектов для упорядочивания мира, представления об устройстве мира по математическим образцам поддерживались и позже, в культурах, ставших преемниками халдейской; в частности, в античной Греции у пифагорейцев.

          Другие ранние индоевропейские культуры; Индия
          Исчисление в практике. В индоевропейских культурах математика с самого раннего времени использовалась в хозяйственной, торговой деятельности, в земледелии, архитектуре, в том числе религиозной, при счёте времени (календаре), предвычислении небесных явлений и в других практических задачах.
          Классификации. В религиях многих индоевропейских народов встречались диады богов, ответственных за порождение мира. Позже, в философии, например, у пифагорейцев (–VI в.) вещи и понятия были расклассифицированы по парам- оппозициям: светлое – тёмное, мужское – женское и т.д.
          В религии и философии Индии выделялись разли>чные триады:
          · троица главных брахманских богов: Шива – Вишну – Брахма
          · тройное деление пространства по вертикали: Небо- Воздух- Земля (Риг-Веда)
          · деление божеств на три класса
          · "три места огня" (три основных алтаря)
          · три гуны: саттва (мудрость), раджас (страсть), тамас (тьма)
          · "три типа людей", соответствующие гунам, описал Пифагор
          Три канонических цвета по вертикали: белый, красный, чёрный:
          · цвета гун: саттва – белая, раджас – красная, тамас – чёрная
          · трехцветный шнур брахманов
          · трехцветный священный пояс зороастрийцев
          · в тибетском ламаизме и религии бон верхний мир богов – белый, срединный мир людей – красный, нижний подземных духов – синий
          · раскраска трёх голов статуй Гекаты: черная, красная, белая
          · "Тифон – красный, Гор – белый, Осирис – темнокожий, ..." ( Плутарх "Об Изиде и Осирисе" // "Вестник древней истории", тт. 3-4, 1977 г.).
          · цвета стен Асгарда: (чёрная земля +) малиновый + белый
          · Стены столицы Атлантиды (по Платону). "Камень белого, черного, красного цвета они (атланты) добывали в недрах среднего острова и в недрах внешнего и внутреннего земляных колец".
          И так далее, вплоть до современных трёхцветных флагов большинства индоевропейских государств.
          Каноническая раскраска (предположительно) горизонтали: юг – красный, север – чёрный, запад – белый, восток – зелёный ( Лингвист О. Трубачёв, частично исходя из такой раскраски сторон света, трактовал Белоруссию, как Западную Русь (Червонная Русь, соответственно, должна была бы быть южной) ; Трубачёв О.Н. "В поисках единства", М., 1997 г., стр. 121- 123).
          В индоевропейских культурах имелись 5-ричные классификации:
          · пять элементов мира (древняя Индия, пифагорейцы).
          · 4 стороны света + центр (Индия; Веды).
          У этрусков, пифагорейцев, индусов, … имелись различные 7- классификации. Например, в ведической Индии имелось 7 риши и т.д.
          Строение пространства. Земная плоскость представлялась в древней Индии как 4+1 направление (стороны света + центр); уже в Ведах. С направлениями связывались боги и цвета.
          Период существования Космоса. В различных индоевропейских культурах период существования Космоса (как правило, циклического) был пропорционален 60N:
          · Великий год Орфея составлял 120000 лет.
          · Согласно зороастризму, мир существует 12000 лет.
          · Продолжительности индийских периодов существования Космоса, юг, были кратны степеням 60. Махаюга, называвшаяся "веком богов" равнялась 4320000 лет. Махаюга делилась на Крита, Трета, Двапара и Кали юги, продолжительности которых убывали в пропорции 4:3:2:1. Длительность Калиюги составляла 432000 лет.
          Математические образцы в архитектуре, искусстве. В разных ранних индоевропейских культурах частыми были изображения спиралей и свастик – на вазах, утвари, одежде, постройках, …
          В индоиранской архитектуре встречалась фигура, представлявшая собой сочетание круглого и квадратного: шар (купол), вписанный в куб; например, в храмовом комплексе древней Нисы (Парфия).
          В древней Индии брахманская религия для достижения определённых практических целей предлагала строить алтари данных, строго фиксированных форм и размеров. Религиозные тексты утверждали, что даже небольшие отклонения от предписанных размеров и форм алтарей аннулируют эффект ритуала. Среди математических объектов, использовавшихся при построении ведийских алтарей, были два первых пифагорейских треугольника (см. выше). В неолитических постройках (хеджах) Англии также использовались первые пифагорейские треугольники.

          Китай
          Исчисление в практике. В Китае математика с древности применялась в хозяйственной, торговой деятельности, в земледелии, архитектуре, счёте времени, предсказании небесных явлений и т.д.
          Исчисление музыки. В Китае было произведено исчисление музыки. Музыкальная шкала строилась, начиная от основного звука, называвшегося хуан чжун ("желтый колокол"), через 2/3 или 4/3 тона, что реализовывалось соответствующими длинами трубок. На 12 шагу получалась (почти) октава и эти 12 звуков, люй, составляли основной музыкальный ряд. Из него выделялись 5 первых звуков; от каждого из которых также можно было строить 12 люй. Система 12 люй упоминалась в текстах эпохи Чжоу, в "Ши цзине", в "Го юй", в "Люйши чуньцю" (–III в.) и других древних сочинениях.
          Исчисление духов. Важной частью культуры Китая эпохи Шан-Инь (–XVII - XI вв.) было гадание- обращение к духам предков с вопросами. Для интерпретации "ответов духов" применялись определённые гадательные процедуры, использовавшие вычисления. Ранние методы гадания использовали панцири черепах, более поздние – стебли тысячелистника (50 стеблей). Результатами гаданий были гексаграммы – фигуры, состоявшие из шести прерывистой и непрерывной (инь и ян) черт/ вариант: шести чётных или нечётных чисел.
          Названия 64 гексаграмм (всех возможных результатов гадания) и краткие комментарии к ним приводились в "Книге Перемен". "Книга" являлась самым древним и авторитетным источником в китайской культуре; её появление относится историками к –II тыс. Позже к гексаграммам были даны более подробные комментарии.
          Гексаграммы рассматривались как изображения текущих ситуаций. Переходы от одной гексаграммы к другой соответствовали изменению ситуаций в мире, его динамике. Этот процесс, видимо, считался циклическим, что символизировалось расположением гексаграмм на окружности.
          Инь и ян черты гексаграмм назывались в "Книге" 6 и 9, соответственно. То есть, основным объектам "Книги Перемен" уже на самой ранней стадии их рассмотрения сопоставлялись определённые числа.
          Применение счёта для гадания и чисел-фигур для изображения результатов гадания можно было бы называть исчислением духов.
          В этом "исчислении духов" особое значение имела пара (5, 10). Во-первых, на 50 стеблях тысячелистника производилось гадание. Это число упоминалось в "Сицы чжуани", комментарии к "Книге Перемен". Гу Хуань (+V в.) полагал, что "50 – число, с помощью которого считают всех духов" (Спирин В.С. "Числовые комплексы из Си цы чжуани"// VIII конференция "Общество и государство в Китае", М.,1977 г.). Во-вторых, инь + ян = 6 + 9 = 15.
          Математические образцы. Числа и фигуры в древнекитайской культуре использовались как образцы в архитектуре, искусстве, упорядочивании текстов, космологических и иных теоретических построениях. Имелся набор часто употреблявшихся образцов, чисел/ их комбинаций и фигур – 2, 3, 5, 6, 9, 15, 50, (3, 2) (3, 5), …, сочетание кругов и квадратов, квадрат 3*3, магический квадрат ло-шу, крест хэ-ту, триграммы, гексаграммы. Они появились в китайской культуре весьма рано. Числа 6, 9, 15, 50 участвовали в древних гадательных процедурах. Появление ло-шу и хэ-ту и их связывание с объектами мира китайские тексты относили ко времени деятельности полумифических культурных героев Фу Си и Юйя (усл. –III - –II тыс.). Важная и относимая к древнейшим временам китайской истории классификационная- упорядочивающая роль бинома 3*5, пары (5, 10), квадрата 3*3 в древнекитайской культуре неоднократно отмечалась современными синологами (А. Кобзев, Л. Берглунд, …).
          Классификации. В ранней китайской картине мира имелся ряд диад- противоположностей:
          · Вселенная называлась Тянь-Ди, Небо-Земля.
          · ян - инь
          Древнекитайская картина мира упорядочивалась также некоторыми триадами:
          · космическая триада Небо – Человек – Земля. Небо и Земля породили Человека, который стал посредующим элементом между ними.
          · ханьский философ Дун Чжуншу (–II в.) представлял развитие истории в виде циклической смены трёх периодов.
          · три канонических цвета времени/ вертикали – чёрный, красный, белый. Дун Чжуншу соотносил их трём периодам развития истории.
          В ранней китайской культуре производились пятеричные классификации:
          · пять элементов мира: дерево, огонь, почва, металл, вода.
          · пять направлений: стороны света и центр. "Пятиричность земной горизонтали ... уже в Го юй и Цзо чжуани" (Кобзев А.И. "Учение о символах и числах в китайской классической философии", 1994 г.).
          · пять канонических цветов горизонтали (стороны света и центр): север – чёрный, юг – красный, восток – зелёный, запад – белый/ синий, центр – жёлтый.
          Классификации по диадам, триадам, пятёркам считались в древнем Китае универсальными – под них могли быть подведены любые объекты: "От рождения вещам присущи двоичность, троичность и пятиричность" ("Цзо чжуань"). В дальнейшем по числам 2, 3, 5 были расклассифицированы и другие (многочисленные) вещи физического и понятия интеллектуального мира.
          Числовое представление диад. Парам-оппозициям понятий или объектов в древнекитайской культуре ставились в соответствие числа и фигуры, при этом отношение чисел, как правило, равнялось 3:2; а фигурами, представлявшими оппозиции, были круг и квадрат.
          ·  ян – 9, инь – 6 ("Книга Перемен"); 9:6 = 3:2.
          "Совершенномудрые обозначили Небо – тройкой, Землю – двойкой" ("Сицы чжуань").
          "Троица отнесена к Небу, двоица к Земле" ("Шогуа чжуань").
          "<при гадании>стеблей Неба 216, стеблей Земли 144" ("Сицы чжуань"); 216:144 = 3:2.
          "Небо – круг, Земля – квадрат" ("Трактат о гномоне", "Сицы чжуань").
          "Природа Неба круглая, Земли – квадратная" ("Люйши чуньцю").
          Числовое представление Элементов. "1 называется вода, 2 – огонь, 3 – дерево, 4 – металл, 5 – почва" (Хун фан (Кобзев А.И., цит. соч.).
          Строение пространства. Земная плоскость была организована- упорядочена по 4+1 направлениям: стороны света + центр.
          С направлениями на плоскости связывались пятёрки чисел (1 – 5) и (6 – 10): север – 1/6, юг – 2/7, восток – 3/8, запад – 4/9, центр – 5/10. (Их изображение на плоскости давало т.н. крест направлений хэ-ту).
          Совместное пространственно-временное упорядочивание мира в древнем Китае имело вид троичной вертикали и пятеричной горизонтали. Троичное деление в Китае, в основном, было связано с небом (или временем, или вертикалью), пятеричное – с пространством (или плоскостью). Пространственно-временная структура мира в Китае, таким образом, упорядочивалась парой чисел (3, 5).
          3*5- модель мира соответствовала выделенному значению пары (5, 10) и числа 15 = 5+10 = 6+9 (инь+ян) в математических образцах древнекитайской культуры.
          Математические образцы в религиозной архитектуре, хозяйственной деятельности, архитектуре текстов, протонауке, искусстве. В храмовой архитектуре Китая реализовывались числа и фигуры, сопоставлявшиеся основной диаде Небо-Земля: сочетания кругов и квадратов, отношения 3:2. Например, алтарь Неба в Пекине был составлен из 3 круглых террас, алтарь Земли – из 2 квадратных; размеры которых следовали отношению 3:2.
          Китайские монеты имели вид сочетания круга и квадрата (Неба и Земли): они были круглыми, с квадратными отверстиями посредине.
          Пара 3*5, сань у ("троицы и пятерицы") упорядочивала в Поднебесной не только пространственно-временную структуру китайского Космоса, но и хозяйственную деятельность; притом с глубокой древности. Например, в эпоху Шан-Инь (–1776 - –1122 гг.) имелось 3 титула и 5 видов владений. "Исторически концепция "сань у" восходит по крайней мере к середине –II тысячелетия" (там же). Эта пара играла важную классификационную роль на протяжении всей китайской истории. Так, Сунь Ятсен сформулировал свою политическую программу как концепцию "трёх народных принципов и пяти властей" (3 принципа: национализм, народовластие, народное благосостояние. 5 властей: законодательная, исполнительная, судебная, экзаменационная, цензоры).
          Примечательной особенностью древнекитайской культуры была реализация математических образцов не только в материальной архитектуре или в интеллектуальных понятиях, но и в архитектуре текстов. "Некоторые китайские тексты структурированы по матрицам 3*3, 3*5, 5*5 притом вполне осознанно" (Кобзев А.И., цит. соч.). Структурирование текстов производилось уже на раннем этапе китайской культуры. Текст главы Хун Фан ("Величественный образец"), части Шу цзина, допускал представление в виде квадрата 3*3, при котором выявлялись определённые закономерности его строения (Кобзев, там же). ""Нань цзин", один из древнейших в Китае медицинских трактатов был составлен из 81 главы, каждая из которых, видимо, имела 9-частное строение, так что в результате получался 729-частный куб" (там же).
          Квадрат 3*3 послужил в древнекитайской культуре прообразом также для некоторых географических представлений, произведений искусства и т.д. В виде квадрата 3*3 представлялась территория Китая, которую полумифический император- культурный герой Юй "разделил на 9 областей"; также вся Поднебесная. Зеркала, другие предметы искусства в древнем Китае нередко создавались (украшались) по тому же "величественному" каноническому образцу. Этот математический объект даже стал прообразом понятия закона, или канона в китайской культуре. "Изображение (квадрата) 3*3 уже в конце –II тыс. использовалось в качестве понятия "закона" (канона). Квадрат 3*3 связывался с идеей "универсального закона". Современный китайский термин для "категории" ("фань чоу") происходит от обозначения квадрата 3*3" (Кобзев, там же).
          Ряд теоретических построений был связан в Китае с магическим квадратом ло-шу, который Л. Берглунд даже характеризовал как "выражение древнекитайской модели Космоса в математической форме" ( Berglund L. "The secret of Luo Shu", 1990.). Строились его отображения на макрокосм (порождение сторон света в соответствие с порядком чисел в ло-шу); на микрокосм (в медицине) и т.д. Впрочем, датировка подобных построений в Китае (как и самого ло-шу) плохо определена; скорее всего, они являются относительно поздними.
          Спирали и свастики также использовались искусстве, протонауке древнего Китая.
          Математизация мира. Как видно из приведённых примеров, в Китае с древности активно производилось внедрение математических образцов в различные области теории и практики, превращение мира в математический Космос. Видимо, одной из важных причин, стимулировавших это, было использовании при гадании, обращённом к духам, чисел и фигур, "связывание духов с числами", и, одновременно, связывание духов с физическим миром.
          Нетрудно заметить, что математические образцы, упорядочивавшие мир в древнекитайской культуре, как правило, были связаны с "божественными" числами. Например, различные диады моделировала пара (3, 2), сопоставленная Небу и Земле. Отношение этих чисел было равно отношению значений ян и инь, упоминавшихся в "Книге Перемен" (3:2 = 9:6). Часто использовавшееся в древнекитайской культуре число 15 было равно сумме ян и инь (15 = 9+6).
          Сопоставление ситуациям гексаграмм, составленных из чисел и фигур, представляло собой, по сути, некоторое исчисление ситуаций и их изменений, динамики природы и общества, что имело потенциальным следствием развитие аналогов пифагорейских представлений об устройстве мира по математическим образцами.
          Математические объекты применялись для упорядочивания мира в китайской культуре и позже. Списки диад, триад, … постоянно расширялись.

          Сравнение

          Сходство
          15 и божественное. Числа 15, 50 и пара (5, 10) в разных культурах Европы, Средиземноморья, Ближнего Востока, Китая с древности сопоставлялись с божественным или его аналогами.
          Классификации. Различные диады- оппозиции и триады в древних культурах Вавилона, Китая, индоевропейских народов сходны между собой. Большинство таких аналогий обусловлено сходством явлений природы или принципов, которые они отображают. Более специальным является сходство представлений о пяти элементах (индоевропейцы, Китай).
          Строение пространства. Упорядочивание земной плоскости по 4+1 направлениям – стороны света + центр – общее для древнего Вавилона, Индии, Китая. То же – 3 вертикаль*5 горизонталь.
          Числовое представление диад. Представление в древнекитайской культуре пары Небо - Земля (светлое - тёмное, мужское - женское, …) парой чисел, имеющих отношение 3:2 и парой фигур круг - квадрат, аналогично шумеро-вавилонскому представлению Небо - Земля парой 60, 40 (60:40 = 3:2) и соотнесению в пифагорейской нумерологии мужскому (светлому, небесному, ...) и женскому (тёмному, земному, ...) началам чисел 3 и 2, фигур круг и квадрат.
          Раскраска вертикали и горизонтали. Канонические цвета триад и раскраска горизонтали (сторон света) частично совпадают в индоевропейских культурах, Вавилоне, Китае.
          Космические циклы. Периоды существования Космоса в разных индоевропейских культурах пропорциональны степеням 60, основанию системы счисления и счёта времени в Вавилоне. Отношение продолжительностей индийских юг, 4:3:2:1, совпадает с пифагорейско- вавилонской Тетрактидой.
          Связь математики и религии. В Индии для конструирования ведийских алтарей решались задачи построения фигур, имеющих данные площадь и форму, а также задачи преобразования фигур с сохранением площади или формы. Аналогичные задачи в вавилонской математике (преобразование квадрата в прямоугольник и обратно), вероятно, также были связаны с религиозной архитектурой, об этом говорит использование в качестве стандартного ответа к таким задачам прямоугольника со сторонами 30*20; отношение 3:2 часто использовалось в архитектуре храмов Шумера- Вавилона. Пифагорейцы и платоники интерпретировали задачу построения фигуры подобной данной и равновеликой другой ("подобной идее и равной материи") как аналог космогенеза. (Возможно, постановка соответствующих канонических задач Шульба-сутр была обусловлена отголосками каких-то сходных с этими древних теологических представлений).
          При построении одного из важных ведийских алтарей, Маха- веди, использовались первые два пифагорейских треугольника. В неолитической Англии создатели хеджей строили их в форме эллипсоподобных фигур, параметры которых определялись первыми пифагорейскими треугольниками.
          Применения математических расчётов при гадании, исчисление духов в древнекитайской культуре являлось некоторым аналогом применения чисел и фигур в вавилонской астрологии.
          Исчисление богов/духов и внедрение математических образцов. Исчисление божеств и активная математизация мира в халдейской культуре (а также, позже, у пифагорейцев) сходны с исчислением духов и активной математизацией мира в древнекитайской культуре.

          Различия
          В отличие от Халдеи, в китайской культуре число 7 не играло выделенной роли. Ни в древности, ни позже в Китае не были развиты 7-классификации предметов, явлений природы по богам-планетам, столь популярные в халдейской культуре и у её преемников. Характерная для звёздной религии Вавилона астрология также была слабо развита в древнем Китае.
          В свою очередь, в Вавилоне, античной Греции, Индии не было таких характерных и игравших важную роль в упорядочивании мира с помощью чисел и фигур математических образцов как китайские три- и гексаграммы, квадрат 3*3, магический квадрат ло-шу, крест хэ-ту.
          Это говорит о том, что после расхождения народов их культуры развивались относительно автономно.

          Ведийские алтари и геометрия древней Индии

          Формы и размеры ведийских алтарей для жертвоприношений были предписаны шастрами. При этом указывалось, что отклонения от указанных форм или размеров аннулируют эффект ритуала.
          Три основных алтаря, Три огня, на которых должны были совершаться обязательные жертвоприношения, упоминались в Ригведе; Правила их построения там не давались, но говорилось, что для этого есть специалисты. Размеры и формы алтарей приводились в Шатапатха брахмане (усл. –2000 - –600 гг.), Тайттирия самхите. Там же упоминались и геометрические фигуры, связанные с построением алтарей, в частности, пифагорейские треугольники. "Прослеживая историю треугольника (15, 36, 39) <= 3*(5, 12, 13)> мы впервые встречаем его в Майтрайане самхите, Шатапатха брахмане. Упоминались только 15 и 36 но не 39"[1]. Три огня строились из кирпичей; имели форму круга, квадрата, полукруга и одинаковую каноническую площадь в 7.5 кв. purusa. Алтарь Маха веди для жертвоприношений Сомы имел форму равнобедренной трапеции с основаниями a = 30, b = 24 и высотой h = 36 padas. Алтари для жертвоприношений Kamya agni имели форму сокола, колеса, черепахи, ромба,… и каноническую площадь. Дошедшие до нашего времени Шульба сутры  (усл. –V - –IV вв.) описывали способы построения алтарей с помощью верёвки[2].
          Шульба сутры представляли собой учебники по геометрии. В них определялись простые геометрические объекты; описывались их свойства, способы их построения с помощью верёвки; ставились и разрешались определённые геометрические задачи, в т.ч. 1) преобразования фигур с сохранением площади (построение фигуры данной площади, но другой формы); 2) преобразование фигур с сохранением формы, но другой площади. Среди задач на преобразование фигур с сохранением площади была "квадратура круга" – построение круглого алтаря данной площади, т.е. равновеликого данному квадратному алтарю. Среди утверждений Шульба сутра имелась и "теорема Пифагора"; она формулировалась не для прямоугольного треугольника, а для диагонали прямоугольника. Доказательство её в сутрах не давалось; самое раннее из известных индийских доказательств этой теоремы относится к +V - +VI вв. Теорема Пифагора использовалась в задаче превращения прямоугольника в квадрат той же площади. В Шульба сутрах встречались пифагорейские треугольники: (3, 4, 5), (5, 12, 13) (в т.ч. в размерах алтаря Маха веди, неявно), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (12, 35, 37).
          Все задачи и теоремы Шульбы сутр имели целью построение алтарей заданных форм и размеров. В частности, задачи на построение фигур, равновеликих данной (квадрата или круга, равновеликого данному прямоугольнику и пр.) были обусловлены требованием сохранения у алтарей канонической площади. Хотя современные датировки Шульба сутр относят их составление ко времени, гораздо более позднему, чем ведическое, однако, поскольку они использовались для построения ведических алтарей канонизированных форм и размеров, то почти несомненно, что основные приведённые в них задачи и методы их решения – в частности и в особенности преобразование прямоугольника в равновеликий квадрат, а также связанная с этой проблемой теорема Пифагора – были известны, в той или иной форме не позднее ведийского времени. Об этом свидетельствуют и ссылки на некоторую авторитетную древнюю традицию у авторов сутр. Пифагорейские же тройки напрямую упоминаются в Шатапатха брахмане, а для алтаря Маха веди размеры, как нетрудно видеть, были специально подобраны так, чтобы в нем "содержались" первые два пифагорейских треугольника (3, 4 ,5) и (5, 12, 13); см. выше.
          Итак, ведические арьи (точнее, брахманы), прибывшие в Индию, по современным оценкам около –XV в., имели следующие математические знания: 1) первых пифагорейских троек (несомненно); 2) постановки и решения задач на преобразование прямоугольника в равновеликий квадрат; 3) теоремы Пифагора (почти несомненно). Точно такие же математические знания имелись примерно на триста лет раньше (по современным датировкам) в вавилонской математике.
          Кроме того, некоторые геометрические фигуры и числовые константы (в т.ч. первые пифагорейские тройки) в ведийской культуре были канонизированы и связаны с ритуальными объектами – использованы при построении алтарей. Сходная связь математики и религии имелась в пифагореизме; восходила от него к вавилонской культуре, и далее, видимо, к более раннему общему первоисточнику.

          Древнекитайский "Трактат о гномоне"

          "Трактат о гномоне" (Чжоу би)[3] – самый древний китайский математический и астрономический текст. Его составление относят ко времени между –1000 и –100 гг. Астрономическую часть трактата датируют, по косвенным соображениям, –VII - –VI вв.
          Первым известным комментатором трактата был математик +III века Чжао Цзюньцин. Следующие комментаторы – Чжэнь Луань, современник династии Северная Чжоу (557- 81 гг.), Ли Чуньфэн, современник династии Тан (618 - 907 гг.). В эпоху Тан, когда математика была выделена как самостоятельный предмет, Чжоу би вошел в "Десятикнижие" ("Десять книг счетного канона"), сборник основных математических текстов.
          "Трактат о гномоне" состоит из двух свитков (цзюаней). В первом записана беседа Чжоу гуна (–XI в.), брата первого императора династии Чжоу, с сановником Шан Гао, "весьма искусным в математике", как сказано в тексте трактата. Во втором свитке – беседа Чэнь цзы с его учеником Жун Фаном. Первый свиток посвящен математическим вопросам. В нём упоминается пифагорейская тройка (3, 4, 5); приводится теорема Пифагора в применении к этой тройке; рассматривается использование угольника (прямоугольного треугольника) для решения практических задач, в частности определения, методом подобия, высот удалённых объектов. Во втором свитке рассматриваются астрономические вопросы, иньский календарь, космологическая теория гай-тянь ("небо-покрывало").
          Название трактата, "Чжоу би" (би – шест для измерения тени; гномон) объясняется так. Жун Фан спрашивает: "Что такое "Чжоу би"?" Чэнь цзы отвечает: "В древности правители построили [город] Чжоу, это число [8 чи, длина шеста - би] происходит из династии Чжоу, поэтому этот шест называется Чжоу би". Чжоу – столица династии Чжоу, позже г. Лоян. Чи – единица измерения, примерно 1/3 метра.
          Теорема Пифагора, частный случай которой упоминался в "Трактате о гномоне", доказывалась в комментарии Чжао Цзюньцина. Она называлась там "метод гоу-гу"; гоу - меньший, гу - больший катет прямоугольного треугольника. Чжао приводил (словесно описанные) геометрические методы решения квадратных уравнений и сводящихся к ним задач, связанных с прямоугольными треугольниками, соответствующие греческой геометрической алгебре. Задачи на подобие, использующие прямоугольный треугольник, также рассматривались Чжао и другими китайскими математиками.
          Первую, математическую часть трактата начинает вопрос Чжоу гуна, обращённый к Шан Гао: как можно производить расчёты размеров земных и небесных объектов, "ведь не существует лестницы, поднимающейся к Небу и нельзя измерить размеры Земли с помощью чи и цуней[4]. Скажите, как же тогда были получены нужные числа?"[5]
          Шан Гао отвечает: "Методы вычислений происходят из круга и квадрата. Круг происходит из квадрата, квадрат происходит из угольника, угольник происходит [из таблицы умножения] "девятью девять - восемьдесят один"".
          Выражение "круг происходит из квадрата, квадрат происходит из угольника", вероятно, отсылает к методами построения соответствующих фигур, сводимым, в конечном счёте, к использованию угольника (прямоугольного треугольника). Квадрат очевидным образом строится с помощью угольника, а построение с помощью угольника круга (вращением вокруг вершины) описано далее в "Трактате".
          Чжао Цзюньцинь комментировал это место "Трактата" так:
          "Если диаметр круга равен 1, то длина его окружности равна 3. Если сторона квадрата равна 1, то его периметр равен 4. Можно разрезать круг, выпрямив его как [меньший катет] гоу прямоугольного треугольника, расправить квадрат как [больший катет] гу прямоугольного треугольника. Если соединить концы, то гипотенуза будет равна 5. Это и есть связь между кругом и квадратом. Поэтому говорят: "Числовые методы происходят из круга и квадрата"".
          Таким образом Чжао проиллюстрировал несколько неясную фразу "Трактата" о том, что "числовые методы происходят из круга и квадрата" примером первого пифагорейского треугольника (3, 4, 5). Соотнеся два катета этого треугольника с окружностью радиуса 1 и периметром квадрата со стороной 1, он отметил, что гипотенуза этого угольника – как бы "связывающая" такие круг и квадрат – будет равна 5. Впрочем, комментарий вряд ли сильно прояснил исходную мысль.
          Продолжение комментария Чжао:
          "Круг и квадрат - это образы Неба и Земли, а также символы Инь и Ян. Чжоу гун спрашивает Шан Гао о теории чисел Неба и Земли. Шан Гао в ответ говорит о круге и квадрате, чтобы указать их (Неба и Земли) формы, нечётными и чётными числами объясняет их вычисления".
          Чжоу гун спрашивал Шан Гао о вычислениях размеров земных и небесных объектов – тот начал ответ с рассказа о круге, квадрате, угольнике. Чжао в комментарии указал, что Небо соотносится с кругом, а Землю с квадратом, для построения и вычисления размеров которых имеются методы. При этом он представил один катет угольника длиной окружности (3), а другой – периметром квадрата (4), что аналогично популярному в пифагореизме соотнесению этих катетов с: мужским/ небесным (3) и женским/ земным (4) началами; порождающим, в результате соединения в треугольник, третий элемент, гармонизирующий их, гипотенузу (5).
          Продолжение ответа Шан Гао:
          "Числа, касающиеся круга, можно получить из квадрата. Квадрат происходит из угольника[6]. Угольник имеет ширину и длину, нужно знать методы умножения и деления. [Треугольная таблица умножения] "девятью девять - восемьдесят один" – источник знания умножения и деления. [Если] начертить угольник, взяв [меньший катет] гу равным 3, [больший катет] гоу равным 4 [то] гипотенуза будет 5. Строим снаружи квадраты [на сторонах треугольника]. Соединим концы, получим 3, 4, 5. Величина угольников 25, это и есть площадь [двух] угольников. С помощью этих методов Юй управлял Поднебесной[7].
          Утверждение Шан Гао о том, что угольник (прямоугольный треугольник) с катетами 3 и 4 имеет гипотенузу, равную 5, Чжао воспринял как частный случай применения теоремы Пифагора, и дал, в комментарии к этому утверждению, её общую формулировку:
          "Метод гоу и гу: два числа рождают третье, имея [катеты] гоу и гу, вычисляется гипотенуза".
          Далее комментатор (Чжао) привёл доказательство теоремы Пифагора, с помощью использования (словесно описанного) "архитектурного чертежа". Такое доказательство встречалось у индийского математика Бхаскары (VI в.). У Эвклида было приведено более сложное доказательство. Далее Чжао привёл геометрические методы решения квадратных уравнений, основанные на применении теоремы Пифагора. Аналогичные методы имелись в древнегреческой математике (у Эвклида), они назывались там приложение площадей, и восходили к вавилонской математике.
          Слова Шан гао "с помощью этих методов Юй управлял Поднебесной" Чжао в своём комментарии интерпретировал как использование угольника для определения высот (гор) и глубин (рек), с помощью метода подобия:
          "Юй боролся с наводнениями так: смотрел на формы гор и рек и определял глубины и высоты. Покорение гор и обуздание рек было осуществлено благодаря методу гоу-гу".
          Такая интерпретация комментатора обоснована нижеследующим ответом Шан Гао на просьбу Чжоу гуна объяснить, как применять угольник для решения практических задач:
          "положим одну сторону угольника горизонтально, чтобы [стороной угольника] проверить: является ли линия прямой. Поместим сторону угольника вверх- вертикально – измерим высоту. Поместим сторону угольника вниз- вертикально – измерим глубину. Поместим сторону угольника горизонтально – измерим расстояние между точками".
          Вторая и третья фразы ответа Шан Гао, очевидно, представляют собой описание использования угольника, методом подобия, для определения высот или глубин объектов ("гор и рек"), что и отмечено комментатором.
          Далее Шан Гао продолжил объяснять использование угольника:
          "Зафиксируем точку угольника, вращаем его – получаем круг. Два угольника вместе составляют один квадрат"
          Здесь дано описание использования угольника для построения круга и квадрата, о чём говорилось в начале трактата. Чжао комментирует:
          "Угольник используют и для измерения вещей, и для построения круга, и для составления квадрата, [поэтому] угольник является универсальным объектом".
          Заключительные фразы математической части "Трактата" и комментарии к ним:
          Шан Гао: "Квадрат – Земля, Круг – Небо. Небо круглое, Земля квадратная".
          Комментарий Чжао Цзюньциня: "Это относится к принципам Инь и Ян, а не к настоящим Небу и Земле. Небо и Землю нельзя увидеть полностью, как же мы можем говорить, что они круглые и квадратные?"
          Шан Гао: "Квадрат это основа, из него получается круг…
          Тот, кто знает [теорию] Земли умён. Тот, кто знает [теорию] Неба совершенномудрый.
          Ум происходит из катета гоу".
          Комментарий Чжао Цзюньциня: "Катет гоу есть тень [вещей]. Из рассмотрения катета гоу мы узнаем высоту и длину вещей, поэтому говорится: ум происходит из [катета] гоу".
          Фразу Шан Гао "ум происходит из катета гоу" и комментарий к ней Чжао можно понимать так: "используя угольник и методы математики, наш ум познаёт недоступные прямому восприятию вещи", или, в общем смысле: "математика развивает ум".
          Шан Гао: [Катет гоу] происходит из угольника. Вычисленное угольником верно для любой вещи".
          Чжоу гун:  "согласен с Вами".
          На этом заканчивается первая (математическая) часть "Трактата о гномоне".
          *  *  *
          Астрономический гномон (шест, используемый при измерении высоты Солнца над горизонтом) и его тень образуют угольник. С другой стороны, Чжао, говоря об угольнике, постоянно упоминаемом в "Трактате" в качестве инструмента для решения задач, в том числе по измерению методом подобия высот/ глубин недоступных объектов. назвал его меньший  катет тенью: "катет гоу есть тень" – т.е. соотнёс с гномоном.. Таким образом, название трактата "Чжоу би" – чжоусский гномон – может быть переведено и как чжоусский угольник.
          *  *  *
          Итак, авторам трактата "Чжоу би" были известны 1) правила счисления (арифметика); 2) простейшие геометрические фигуры, включая прямоугольный треугольник; 3) принципы подобия и их использование на практике; 4) первая пифагорейская тройка; 5) (возможно) теорема Пифагора в применении к ней; 6) использование гномона для определения времени.
          При этом 1) упоминаемый в тексте "Трактата" первый пифагорейский треугольник (3, 4, 5) не имел непосредственного применения на практике; 2) персонажи текста приписывали авторство (части) своих знаний полумифическим культурным героям древности; 3) отдельные математические формулировки в трактате имели примитивный, даже утрированный характер и, судя по тексту, плохо понимались самими собеседниками, а судя по комментариям Чжао к этим местам, немногим лучше понимались и через почти тысячу лет; 4) рассмотренные в чжоуском трактате (усл. –X в.) математические идеи и задачи не развивались до эпохи Хань (–III - + III вв.).
          Как известно, ранняя китайская цивилизация, начиная с династии Инь (предшествовавшей Чжоу), заимствовала ряд важных инноваций от индоевропейцев (металлургия бронзы, колесницы,…); возможно даже, что основатели династий являлись частично индоевропейцами.
          Поскольку все математические знания чжоуского "Трактата"  были известны много раньше (древний Вавилон, ведийская Индия,..) то, они также, несомненно, представляли собой заимствования - особенно  учитывая их местами утрированный и не имеющий отношения к практике характер. Полутеологические-протофилософские рассуждения в "Трактате", связанные с числами и фигурами, близкие к пифагорейско-халдейской нумерологии, также, скорее всего, представляли собой результаты этого заимствования- трансляции идей, впрочем, со значительными искажениями и примитивизацией, неудивительными, учитывая отдалённость культур во времени и пространстве.

          Математическая загадка "Книги Перемен"

          В древнем Китае результаты гаданий представлялись сочетаниями шести чисел – шестёрок или девяток – и изображались (в более позднее время) в виде гексаграмм, состоявших из прерывистых или непрерывных (инь или ян) линий. Инь (шестёрка) изображалась прерывистой, ян (девятка) – непрерывной чертой.
          В "Книге Перемен" (усл. –XII в.) все возможные 64 результата гадания (64 гексаграммы), были расположены в следующем порядке:

          Рис 1. Порядок гексаграмм в "Книге Перемен"
         

          Расположение 64 гексаграмм в "Книге Перемен" (рис. 1) имеет одну хорошо известную закономерность; двадцать восемь последовательных пар гексаграмм с номерами (2n, 2n+1) являются зеркальными отражениями друг друга; за исключением восьми центрально- симметричных, стоящих на местах 0, 1, 26, 27, 28, 29, 60, 61.
          По какой закономерности расположены гексаграммы с чётными/ нечётными номерами и есть ли она вообще? Покажем, что такая закономерность имеется.
          Расставим номера 64 ГГ "Книги Перемен" в таблице 8*8 следующим образом. Расположим над верхней строкой таблицы 8 триграмм в порядке Вэнь вана (см. ниже рис. 3), а слева от первого столбца – триграммы, являющиеся их зеркальными отражениями. На пересечении столбца и строки поставим номер, на котором находится в "Книги Перемен" гексаграмма, состоящая из двух триграмм – нижней из вертикального столбца, верхней из горизонтальной строки (рис. 2).
          Рис. 2.
         

          Случайным расположение чисел в таблице быть никак не может:
          В первых двух строках сумма чисел одинакова, и равна 333 (а вместе она составляет весьма значимое число 666).
          ● Оставшиеся шесть строк разбиваются на пары, сумма чисел в каждой из которых равна 450 (= 30*15).
          Итак, расположение чисел в построенной таблице 8*8, представляющей порядок гексаграмм в "Книге Перемен", имеет некоторую закономерность. Следовательно, гексаграммы в "Книге Перемен" тоже расположены по некоторому закону, а не случайно. Этот закон представляет сбой определённую математическую загадку.
          Примечание. Как известно, порядок расположения триграмм Вэнь-вана представляет годичный цикл, разбитый на 8 полусезонов[8].
          Рис. 3
         

          Пары взаимодополнительных (по сумме номеров) рядов из 8 гексаграмм на рис. 2 относятся к парам триграммам, зеркально отражённым по отношению к триграммам, соответствующим одному сезону – т.е. двум полусезонам. Например, третий и четвёртый ряды соответствуют сезону Лето. Это означает, что при расстановке 64 гексаграмм составители "Книги перемен" во-первых, исходили из годового цикла, разбитого на восемь полусезонов, во-вторых, руководствовались некоторым принципом "взаимодополнения" внутри сезона. (Кстати, 360 (число дней в календаре из 12 месяцев по 30 дней) = 8 (число полусезонов) * 45; ср. значения сумм пар строк в таблице номеров выше).

          Шестидесятеричный счёт

          Самой простой и естественной системой счёта является десятичная. Именно она применялась и применяется у большинства народов мира. Вместе с тем, в ряде древних культур Запада и Востока использовалась более сложная 60-чная система счисления.
          60-чная система применялась в шумеро-вавилонской математике и астрономии. Вероятно, она имелась у шумеров ещё до их переселения в Южное Двуречье, так как её использование восходит к наиболее раннему этапу их культуры и так как аккадцы, соседи шумеров, использовали 10-чную систему.
          60-чная система применялась шумерами и вавилонянами только в математических и астрономических задачах; в хозяйственных задачах использовалась 10-чная система. Это говорит о том, что её введение было связано со счётом времени, календарём. На связь 60-чной системы с исчислением времени указывают также некоторые "нумерологические" построения древнего Вавилона. Например, число 60 сопоставлялось богу неба Ану; из степеней 60 составлялись различные варианты Великого года – цикла светил.
          Из Вавилона 60-чная система перешла в древнюю Грецию, где также применялась для исчисления времени. Этот счёт распространился в Европе.
          12- и 60-чные системы счёта, вероятно, применялись в культуре долины Инда.
          В арийской индийской культуре счет был 10-чным, но различные варианты продолжительности космического цикла в Индии были кратны степеням 60.
          60-чная система использовалась в ранней культуре Китая; ещё в эпоху Инь, около –XV в.; в календарных целях, для счёта дней. В начале нашей эры она стала использоваться и для счёта лет. Применение 60-чной системы в Китае ограничивалось счётом времени; в древнекитайской математике, в отличие от математики Шумера, применялась 10-чная система. Возможно, это было обусловлено тем, что китайская математика меньше применялась в астрономии, чем вавилонская.
          Происхождение 60-счёта. 60-чный счёт может рассматриваться как комбинация 10 (или 5)- и 12-чного. В Китае календарная 60-чная система счисления явным образом возникла из соединения 10- и 12-чной систем, притом соотносимых с Солнцем и Луной соответственно: счёт дней велся по 10 солнцам и 12 лунам.
          Использование для счёта времени 60 (=5*12) -чного исчисления, возможно, было результатом создания солнечно- лунного календаря.
          Солнечно-лунный календарь, ориентирующий земледельческую деятельность в соответствии с движением Солнца, сезонами, а религиозные обряды (праздники, жертвоприношения) – в соответствии с Луной, имелся в древней Индии, Шумере, Вавилоне, Греции. Он перешёл в более поздние культуры: эллинистическую, арабоязычную и другие. Бируни, знаток календарей разных стран, писал: "Сабии, харранцы, израильтяне выводят год из движения Солнца, а месяцы из движения Луны, чтобы их праздники приходились на лунный календарь"[9].
          Хотя в Шумере-Вавилоне, в отличие от Китая, связь 60-чной системы счёта с солнечно-лунным календарем не была зафиксирована, но использование шумерами и вавилонянами для хозяйственной деятельности 10-чной системы, а для математической и астрономической – 60-чной напоминает использование солнечного календаря для земледелия, а лунного – для религиозных обрядов. Поэтому можно полагать, что причиной введения 60-чной системы у шумеров тоже было, как и у древних китайцев, комбинирование 10- и 12-чной систем, обусловленное одновременным использованием солнечного и лунного календарей.
          Поскольку в сохранившихся клинописных табличках 12-чная система счёта не была отмечена (в отличие от древнекитайских источников), то комбинирование 10- и 12-чной систем счисления для астрономических целей было произведено шумерами/ халдеями, скорее всего, ещё до их переселения в Месопотамию; либо же имелось в некотором общем (для Китая и Шумера-Вавилона) первоисточнике культуры, фрагменты которого (12-чный счёт) лучше сохранились в Китае, чем в Вавилоне.
         


          Магические квадраты(ранняя история)
           
          Время и место появления простейшего магического квадрата, порядка 3*3 (рис. 1а), не определено. Сведений о знакомстве с ним в древнем Вавилоне или античной Греции нет. Косвенным аргументом, что магический квадрат порядка 3*3 знали в эллинистическом мире является ссылка на него в арабоязычной рукописи VIII в. (см. далее). В трактате неопифагорейца Теона Смирнского (+II в.) был приведен псевдомагический квадрат 3*3 (рис. 1б).
          Известен магический квадрат порядка 3*3, записанный рунами. Квадрат был обнаружен в книге "Тhe Origin оf Tree Worship", относимой к 1888 году, касающейся ритуалов друидов; он имел вид (рунического) заклинания. После перевода обнаружилось, что "заклинание" является магическим квадратом (рис. 2 а-г). Время возникновение этого квадрата также не определено; историки условно относят его к +III - +V вв. Квадрат, очевидно, был составлен из двух более простых магических квадратов. Весьма примечательной особенностью данного квадрата является то, что при замене (рунических) названий чисел на количество рун в этих названиях получался новый магический квадрат!! (эквивалентный стандартному, только начинающийся с числа 3). В центре этого квадрата вместо 15 оказывалось число 7 – поскольку название числа 15 состояло из 7 рун. (В современном английском языке число 15 также записывается с помощью 7 букв). Наконец, при замене чисел исходного квадрата на сумму их цифр опять получался магический квадрат; в центре которого находилось число 6. Уникальность этих свойств рунического квадрата, в частности связь в нём числе 15 и 7, известная по древним культурам (например, с Иштар, Аполлоном связывались числа и 15 и 7) является аргументом в пользу его оригинальности или даже первообразности для других.
          Магический квадрат порядка 3*3 был известен в Китае, где он назывался ло шу, "числа из реки Ло" – по псевдоисторическим легендам мифический культурный герой Фу Си увидел его на спине черепахи, вышедшей из реки Ло. Однако в датированных китайских документах этот квадрат зафиксирован лишь в эпоху Сун (рис. 3), а общее положение о вторичности китайской цивилизации предполагает импорт в неё таких, не связанных с предшествовавшим развитием и не нужных для практики объектов из главных цивилизационных центров. Ло-шу стал популярен в китайской культуре: строились его отображения на макрокосм (порождение сторон света/ мира в соответствие с порядком чисел в ло-шу); на микрокосм (строение тела) и так далее. "Этот простой магический квадрат имел необычную способность представлять основные концепции китайской мысли... ключ к пониманию китайской религии и философии… основа китайской нумерологии"[10].
          На тибетских средневековых гадательно-астрологических картах встречался магический квадрат 3*3 (рис. 4). Он изображался там на спине черепахи, в сочетании с 12- чным циклом; триграммами и прочей "китайской спецификой" – что говорит о его трансляции из Китая.
          Лучше датированные сведения о магическом квадрате порядка 3*3 относятся к миру арабоязычной культуры, где он впервые появился в рукописи конца VIII века, приписывавшейся алхимику Джабиру ибн Хайану (Геберу). В тексте рукописи автором этого квадрата был назван неопифагореец Аполлоний Тианский, живший в +I веке[11].
          Вскоре в арабоязычном мире стали известны и магические квадраты высших порядков. Сочинение о магических квадратах написал сирийский математик Сабит ибн Корра ал Харрани (835 - 901 гг.). Квадраты порядков 3 - 9 были приведены в энциклопедии "Братьев Чиcтоты" – серии трактатов, написанных во 2-ой половине X века.
          Магические квадраты в арабоязычном мире использовались в астральной магии, т.е. как талисманы: Сатурну был соотнесён квадрат 3*3, Юпитеру – 4*4,… Луне  – 9*9. Квадрат 3*3, соотносившийся с Сатурном, применялся также как талисман "для облегчения родов".
          В Индии (Кханджурахо) был обнаружен совершенный магический квадрат[12] порядка 4*4, относимый предположительно к VIII-IX вв[13].
          В XII веке в Испании сочинение о магических квадратах написал р. Абрахам бен Эзра (1092 - 1167 гг.), занимавшийся астрологией.
          По некоторым сообщениям, магический квадрат 3*3 был изображен на коронационной мантии сицилийского короля Рожера II (XII в.)
          Ряд магических квадратов приводился в работе византийского учёного XIV века Мануэля Мосхопулоса. Мосхопулос описал метод построения квадратов нечётного порядка, названный им "индийским"; также привёл (без вывода) пример совершенного магического квадрата 4*4, совпадавшего с индийским. Возможно, Мосхопулос следовал работе персидских учёных: аналогичные примеры имелись в анонимной персидской рукописи 1212 года[14].
          Самым ранним латиноязычным сочинением, где был приведен список магических квадратов порядков 3  -  9, является трактат Агриппы "Об оккультной философии" (1508- 32 гг.). Агриппа, следуя традиции арабоязычной магии, соотносил с этими квадратами планеты, то есть, применял их как талисманы для астральной магии (рис. 5). Поскольку в своей книге он приводил рядом с квадратами, написанными современными цифрами, аналогичные, написанные еврейскими цифрами (буквами), то, видимо, он заимствовал их частично из книг (испанских) евреев, возможно, того же бен Эзры[15].
          Художник Альбрехт Дюрер (1471 - 1527/8 гг.) на своей картине "Меланхолия" изобразил совершенный магический квадрат, увязав его с годом создания картины (1514 г.); см. рис. 6.
          Магические квадраты приводил в свои работах Штифель (1487 - 1567 гг.), немецкий математик, автор сочинений "Курс арифметики" (1544 г.), "Немецкая арифметика" (1545 г.), профессор университета Иены; одновременно священник- протестант и каббалист.
          В XVIII веке Симон де ла Любер, посланник Франции в Сиаме, привёз в Европу метод построения магических квадратов, названный им "сиамским".
          В дальнейшем задачи на построение магических квадратов стали популярным разделом занимательной математики.

          Рис. 1а. Магический квадрат третьего порядка.
         

               4   9   2
               3   5   7
               8   1   6
         

          Рис. 1б. Псевдомагический квадрат Теона Смирнского
         

               1   2   3
               4   5   6
               7   8   9
         

          Рис.2а.  "Друидический квадрат" в буквенной записи (англ.).
         

               Five        twenty two   eighteen
          twenty eight     fifteen      two
              twelve         eight      twenty five
         

          Рис.2б.  "Друидический" магический квадрат в числовой записи.
         

               5   22  18          0  20 10            5    2    8
              28  15   2      =  20  10  0    +       8    5    2
              12   8   25         10   0  20            2    8    5

          Рис.2в-г. "Друидический" квадрат.
         

              4    9    8                          5    4   9
             11   7    3                         10   6   2
              6    5   10                         3    8   7
          в) число букв в исходном        г) сумма цифр в исходном

          Рис. 3.  Изображение ло-шу в китайском трактате эпохи Мин (XIV в.).
         
          Рис. 4. Тибетские магические квадраты 3*3, эквивалентные ло-шу (изображены в круге на черепахе, тибетскими цифрами)
         
         

          Магические квадраты в сочинении Агриппы "Оккультная философия".
         

          Магический квадрат на картине А. Дюрера "Меланхолия"
         
          В нижней строке выделены числа 15 и 14 – год создания картины.

          [1] Datta B. "The science of the Sulba", Calcutta, 1932.
          5, 12, 13 – второй пифагорейский треугольник.
          [2] Шульба сутры (санскр.) - правила верёвки
          [3] Чжоу би суань цзин; другие варианты перевода "Канон расчета чжоу­ского гномона", "Счетный канон чжоуского/всеохватного гномона"
          [4] Чи и цунь - единицы измерения. Чи= 1/3 метра. Цунь= 1/10 чи.
          [5] Цитаты из "Трактата" и комментариев к нему Чжао Цзюньциня даны по переводу Яо Фан; см. Яо Фан "Математические фрагменты из трактата" "Чжоу би суань цзин" и комментария к нему Чжао Цзюньцина: диссертация. кандидата физико-математических наук, М., 1995 г., 143 с.
          [6] т.е. квадрат строится с помощью угольника
          [7] Император Юй, основатель полумифической династии Ся; культурный герой, которому приписывается устранение результатов потопа, восстановление нормальной жизни после него – осушение разлившихся рек и т.д. В данном трактате ему приписано ещё и владение некоторыми математическими знаниями.
          [8] см. напр. Симаков М.Ю.  "Индоевропейская основа древних цивилизаций", М., 2015 г.
          [9] Бируни "Памятники минувших поколений", 1957 г.
          [10] Berglund L. "The secret of Luo Shu", 1990.
          [11] Ссылки арабоязычных авторов, особенно ранних, на греческих учёных довольно часто являются ложными. Однако в данном случае вероятность трансляции магического квадрата 3*3 в арабоязычный мир из эллинистического усиливает применение этого квадрата в тогдашней магии для "облегчения родов" одновременно со связыванием его с Сатурном, который, по греческому мифу, проглатывал своих детей.
          [12] Совершенный магический квадрат – такой, который имеет равные суммы не только по основным, но и по побочным диагоналям.
          [13] Датировки событий индийской культуры являются весьма условными.
          [14] Согласно Camman S. "The evolution of magic squares in ancient  China" // JAOS, v.80, 1960.
          [15] Видимо, Агриппа заимствовал у еврейских авторов квадраты только рангов 3*3 и 4*4, а более высокие степени - из других работ. Это следует из того, что только в квадрате 4*4 у него встречается характерная для еврейской культуры замена числа 15 на 9+6. (Евреи заменяли, при записи чисел буквами, число 15 на 9+6, т.к. 15 составляло имя Бога (Яхве) а произносить или записывать имя Бога в иудаизме запрещено). В квадрате 5*5 и более высоких порядков у Агриппы число 15 было уже записано обычным способом, как 5+10.